Векторные поля. Гонка лего.
Глава 2

Глава 2. Векторные поля. Гонка лего. (видео)
В конце 17 века, Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) и Исаак Ньютон (1643—1727), независимо друг от друга, изобрели великолепный математический инструмент: исчисление бесконечно малых или дифференциальное и интегральное исчисление.

Это — очень эффективный хрустальный шар для предсказания будущего, если исследуемая система задаётся дифференциальными уравнениями.

Эта глава - введение в математический анализ в мире лего.

Как определить скорость идущего лего-человечка? Средняя скорость — это отношение пройденного расстояния к затраченному времени. Зная это, мы можем найти среднюю скорость каждого шага.

А что делать с движущимся автомобилем? Идея в том, чтобы рассматривать движение автомобиля как своеобразный предел движений маленькими шажками, когда шаги становятся настолько маленькими, что их невозможно разглядеть. Эта идея лежит в основе понятия производной и дифференциального исчисления.

Представьте себе текущую реку. В каждой точке реки можно вычислить скорость течения. Нарисуем в каждой точке стрелку, длина которой будет обозначать скорость, а направление будет совпадать с направлением движения воды.

Такая стрелка называется вектором; и поскольку у нас в каждой точке построен вектор, мы получаем то, что математики называют векторным полем.

Интегральное исчисление — противоположность дифференциальному. Задача теперь состоит в том, чтобы вычислить траектории в известном векторном поле. Фильм показывает, как человечки лего, пытаясь двигаться вдоль векторного поля, оказываются вынуждены двигаться по предопределенному пути. В математике это явление известно как теорема Коши—Липшица. Она обобщает понятие о детерминированности: если дано («достаточно хорошее») векторное поле и начальное положение, то существует и единственна траектория, начинающаяся в этой точке и касающаяся в каждой точке этого поля.

Сформулированный таким образом детерминизм имеет свои пределы, что на простом примере показано в фильме. В 1879-м году физик Джеймс Клерк Максвелл (1831—1879) настаивал на чувствительности физических явлений к начальным условиям.
«В вихре пыли, который поднимает порывистый ветер, сколь бы беспорядочным он ни казался нашим глазам; в самом ужасном урагане, созданном противоположными ветрами, нет ни одной молекулы пыли или воды, которая была бы подвержена случайности, для которой не было бы достаточной причины находиться там, где она находится, которая бы не действовала строго так, как она должна действовать. Геометр, который знал бы в точности различные силы, действующие в этих двух случаях, и свойства молекул, которые приводятся в движение, показал бы, что в свете известных причин каждая молекула действует в точности так, как должна, и не может действовать никаким другим способом».
Поль Анри Тири Гольба́х (1723-1789)
Детерминизм — философское течение, утверждающее, что последовательность событий и явлений подчинена причинно-следственной связи; зачастую, эта связь может быть задана физико-математическими законами, показывая, тем самым, их предсказательную способность. Детерминизм — в первую очередь, научная доктрина, его ни в коем случае не следует путать с фатализмом. В своём «Философском эссэ о вероятности», астроном и математик Пьер-Симон Лаплас (1749—1827) утверждает универсальность детерминизма во всей его общности:
«Мы можем рассматривать настоящее состояние Вселенной как следствие её прошлого и причину её будущего. Разум, которому в любой определённый момент времени были бы известны все силы, приводящие природу в движение, и положение всех тел, из которых она состоит, будь он также достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, смог бы объять единым законом движение величайших тел Вселенной и мельчайшего атома; для такого разума ничего не было бы неясного, и будущее, как и прошлое, было бы у него перед глазами».
— Пьер-Симон Лаплас (1749—1827)

Как отмечает Лаплас, для этого понадобится бесконечный разум... и детерминизм кажется достигающим границ своей применимости, уже когда мы задаёмся вопросом устойчивости движения планет. Если вопрос о том, где именно будет Земля через миллиард лет, кажется недоступным (хотя, возможно, и не столь интересным), не рискует ли Земля однажды оказаться выброшенной из Солнечной системы? Возможно, вместо того, чтобы спрашивать, какая будет погода в Париже ровно через десять лет, в точности в этот день, лучше предсказывать средние значения, такие, как число дождливых дней во Франции за заданный сезон?
Этим изменением точки зрения на природу научного детерминизма и заканчивается первая глава «Хаоса».
Цикл книг «Фракталы и Хаос»