Глава 4. Колебания (видео)
Как описать качающийся маятник?

Его положение задаётся одним числом это угол, на который он отклоняется от вертикали. Скорость тоже задаётся числом, знак которого обозначает, вправо или влево движется маятник. Без трения маятник колебался бы вечно. Галилео Галилей заметил это в юном возрасте.

Однако, из-за трения маятник по прошествии какого-то времени останавливается.
Чтобы поддержать колебания маятника, нужно его подталкивать. Трение замедляет маятник, но толчками в нужном направлении в правильные моменты мы можем сохранять его колеблющимся. Если в каждый момент времени мы будем измерять положение и скорость маятника, и отмечать их на графике, то мы получим то, что называют фазовым портретом.

Милая замкнутая кривая, которую Анри Пуанкаре (1854-1912) называл предельным циклом, свидетельствует о периодичности движения.

Модель Лотки-Вольтерра, берущая своё начало в 1930-х, является другим известным примером предельного цикла. Две популяции живут на одной территории: утки и кувшинки. Предположим, что утки едят кувшинки, так что, когда кувшинок много, у уток достаточно корма и их число увеличивается. Но много уток едят много кувшинок, так что количество кувшинок уменьшается. Большая популяция уток теперь хуже обеспечена пищей, и поэтому она сокращается, что позволяет кувшинкам разрастись.

Таким образом, круг замкнулся, и процесс может возобновиться.

Одна из первых теорем в области теории динамических систем, сформулированная Пуанкаре в конце XIX века, подтверждала веру в то, что такие движения, быть может, после некоторого переходного периода, стабилизируются: останавливаются или периодичным образом осциллируют. Эта теорема рассматривает векторные поля на плоскости.

В этой главе, мы попытаемся объяснить основную идею теоремы Пуанкаре-Бендиксона.

Эта идея состоит в том, что на плоскости не может быть рекуррентности: траектория из точки P может вернуться в очень маленькую окрестность P, но потом она обречена никогда больше не возвращаться близко к P (исключая тот единственный случай, если P находится на периодической траектории).
Эта теорема, положившая начало качественной теории динамических систем, выполняется только для векторных полей на плоскости. Для них, она подтверждает идею, что любое движение стремится к положению равновесия или к периодическим колебаниям. Но Пуанкаре вскоре открыл, что для векторных полей в пространстве ситуация становится гораздо, гораздо богаче и красивее. Больше никаких предельных циклов: добро пожаловать в мир хаоса!
Цикл книг «Фракталы и Хаос»