Хаотическая или нет? Cовременные Исследования.
Глава 9

Глава 9. Хаотическая или нет? Cовременные Исследования (видео)
Существует много видов динамических систем. Некоторые из них сложны, другие нет.

Чтобы лучше разобраться в этом, возьмём векторное поле, зависящее от одного параметра, и позволим этому параметру медленно изменяться. Мы видим, что динамическая система под влиянием изменений этого параметра иногда оказывается простой, а иногда неожиданно становится очень сложной. Как понять эти, происходящие на наших глазах, бифуркации? Какой тип поведения чаще всего встречается в природе?

Здесь возникает множество интересных задач для математиков. След, оставляемый аттрактором на плоскости при изменении параметра, напоминает кружево. Он называется бифуркационной диаграммой; красиво, но непросто для понимания!

Разумеется, математики обычно пытаются получить как можно более общие результаты. Тем не менее, они часто начинают с рассмотрения простых примеров, надеясь, что полученные для них результаты будут верны в общем случае.

Как мы видели, для аттрактора Лоренца доля времени, которое траектория проводит внутри данной области, сходится к пределу с течением времени. Это означает, что для системы имеется мера Синая—Рюэлля—Боуэна, и в этом и состояла одна из идей Лоренца.

Разумно ли ожидать, что так будет всегда? К сожалению, ответ — нет. Это можно показать на простом, но довольно специфическом примере, открытом Руфусом Боуэном (1947—1978). Но мы увидим, что ещё рано разочаровываться в этой идее: на самом деле, пример Боуэна очень вырожденный.

В 1990-ых годах бразильский математик Якоб Палис (1940—...) сформулировал ряд задач, решение которых позволит сформировать целостный взгляд на хаос. Гипотезы Палиса — это строгие математические утверждения, и поэтому довольно формальны, но мы встречались с некоторыми из них в нашем фильме:

  • типичное векторное поле имеет лишь конечное число аттракторов
  • траектория, стартующая из типичного начального условия, притягивается одним из этих аттракторов;
  • каждый аттрактор имеет СРБ-меру, описывающую асимптотическую статистику типичных сходящихся к нему траекторий;

Сегодня мы думаем о детерминизме не как о судьбе отдельной траектории, но как об эволюции системы как единого целого.

Чувствительность траекторий к начальным условиям компенсируется статистической стабильностью всего множества.

Целая группа математиков усердно работает над этими гипотезами, и они разрешаются методично, шаг за шагом. Постепенно вырисовывается целостная картина. Оптимистична ли она? Время покажет.
Цикл книг «Фракталы и Хаос»