В конце XIX века появились конструкции Пеано, Гильберта и Миньковского. Все они представляли собой изломанные линии, которые заполняют плоскость настолько плотно, что любую точку на плоскости можно было обозначить одним единственным числом, равным расстоянию от начала линии.

В 1890 году математик из Италии Джузеппе Пеано сконструировал линию, которая полностью покрывает плоскую поверхность, проходя через все ее точки. Топологическая размерность кривой Пеано равна единице, ее фрактальная размерность:

d = ln(9) / ln(3) = 2

Годом позже, в 1891 году, появилась статья немецкого математика Дэвида Гильберта, в которой он представил кривую, покрывающую плоскость без пересечений и касаний. Фрактальная размерность линии Гильберта, как и кривой Пеано, равна двум.

Герман Минковский, близкий друг Гильберта со студенческих времен, построил кривую, которая не покрывает всю плоскость, но формирует нечто наподобие ленты. При построении «ленты Минковского» на каждом шаге каждый отрезок заменяется на ломаную линию, состоящую из 8 отрезков. На следующем этапе с каждым новым отрезком операция повторяется в масштабе 1:4. Фрактальная размерность ленты Минковского:

d = ln (8) / ln (4) = 1,5