Трехмерные кривые Гильберта и Мура
«Кривая Гильберта» стала первым примером FASS-­кривых (space‑Filling, self‑Avoiding, Simple and self‑Similar — заполняющих пространство самоизбегающих, простых и самоподобных линий), покрывающих плоскость без пересечений и касаний. Точность построения является необходимым требованием установления взаимно однозначного соответствия точек линии и точек плоскости. На рисунке ниже показано построение «кривой Гильберта». Порядок держится только на жесточайшей дисциплине.
Кривая Мура — это непрерывная фрактальная заполняющая пространство кривая, являющаяся вариантом кривой Гильберта. Кривую Мура можно рассматривать как объединение четырех копий замкнутых кривых Гильберта, комбинированных таким образом, чтобы получить совпадение концов.
Кривые Гильберта и Мура могут быть расширены до трехмерных кривых, заполняющих пространство. Одномерная линия может быть закручена во многих измерениях.
Рис 1: Множественные итерации с поворотом полученного изображения.
Рис 2: Кривая Гильберта и кривая Мура отличаются друг от друга взаимным расположением начальной и конечной точек кривой. Кривая Гильберта начинается и заканчивается в смежных углах ограничивающего куба, кривая Мура начинается и заканчивается в соседних точках в результирующей трехмерной сетке.
Рис 3: Кривая Гильберта и кривая Мура начинаются с одной и той же начальной формы; переключение с одной кривой на другую при заданном уровне итерации — чрезвычайно полезное свойство, оно может быть использовано, например, для осуществления эффективного доступа к данным и обработке изображений. Источник
На фото выше: скульптура "Кривая Гильберта", сплав нержавеющей стали и бронзы. Автор: Carlo Séquin, профессор Университета Калифорнии. Работа представлена на выставке SIGGRAPH2006.
Цикл книг «Фракталы и Хаос»