Четвертое измерение
Глава 3

Глава 3. Четвертое измерение (видео)
Математик Людвиг Шлефли рассказывает нам об объектах в четвертом измерении и демонстрирует нам парад правильных многогранников в размерности 4: странных объектов с 24, 120 и даже 600 гранями!

Мы долго колебались, прежде чем выбрать ведущего этой главы. Идея четвертого измерения не исходит только от одного человека и потребовалось творчество многих, чтобы она окончательно упрочилась и ассимилировалась в математике. Среди предшественников можно привести гениального Римана, который представит заключительную главу и который, без сомнения, имел очень четкое представление о четвертом измерении с середины девятнадцатого века.
Для него четвертое измерение было чистой абстракцией, но после нескольких лет работы, он должно быть испытывал большую легкость в четырех измерениях, нежели в трех! Его главная работа "Theorie der vielfachen Kontinuität" опубликована в 1852 году. Надо сказать, что лишь немногие в то время осознали важность этого трактата. Лишь в начале двадцатого столетия математики поняли идею этой монументальной работы.
Но мы предоставили слово Людвигу Шлефли (1814 —1895), главным образом потому, что его оригинальный ум почти забыт сегодня, даже среди математиков. Он одним из первых выдвинул идею о том, что даже если наше физическое пространство, как представляется, имеет размерность 3, то ничто не может помешать нам представлять себе пространство размерности 4, или даже доказывать геометрические теоремы о четырехмерных математических объектах.

Даже внутри математического сообщества, четвертое измерение сохраняло аспекты тайны и невозможности в течение многих лет. Широкой публике четвертое измерение часто напоминает о научной фантастике, полной паранормальных явлений, или, иногда о теории относительности Эйнштейна: "четвертое измерение — это время, не так ли?" Однако, это только путаница между вопросами математики и физики. Мы коротко вернемся к этому позднее. Сначала давайте попытаемся представить четвертое измерение, как это сделал Шлефли — как чистое творение разума!

Идея размерности
.
Шлефли использует доску, чтобы напомнить нам о некоторых вещах, которые мы уже видели в предыдущих главах. Прямая имеет размерность 1, так как,чтобы задать точку на ней необходимо всего одно число. Это абсцисса или x-координата, точки — отрицательная если находится точка слева от начала координат и положительная, если справа.
Плоскость доски имеет размерность 2, так как для того, чтобы задавать точки на ней, мы можем провести две перпендикулярные прямые, и описывать положение точек по отношению к этим двум осям абсциссой и ординатой (x- и y-координатами). Для пространства, в котором мы живем, необходимо дополнить две оси доски, проложив третью ось, перпендикулярную доске. Конечно, нечасто случается иметь мел, рисующий линии, покидающие доску, но так как мы готовимся перенестись в четвертое измерение, нам нужен магический мел!

Любая точка в пространстве может быть описана тремя числами, обозначаемыми традиционно x, y и z, поэтому мы и говорим, что пространство имеет три измерения. Конечно, хотелось бы продолжить, но невозможно провести четвертую ось перпендикулярно трем предыдущим; это и неудивительно, ведь физическое пространство, в котором мы живем, имеет размерность 3, и мы не должны искать четверное измерение здесь. Предпочтительнее искать в нашем воображении…

Шлефли предлагает несколько способов, с помощью которых мы можем получить представление о четвертом измерении. Существует не один метод, так же, как существует несколько способов объяснить третье измерение плоским ящерицам. Комбинация различных методов позволяет нам заглянуть в четвертое измерение.

Первый метод — наиболее прагматичный. Мы можем просто сказать, что точка в четырехмерном пространстве — это просто набор данных, состоящий из четырех чисел: x, y, z, t. Недостаток данного подхода в том, что так трудно что-нибудь представить визуально. Но он вполне логичен и большинство математиков довольствуется им. Затем можно пытаться копировать обычные определения из размерностей 2 и 3, и давать определения объектам в четвертом измерении. Например, можно назвать (гипер-)плоскостью множество точек (x, y, z, t), удовлетворяющих линейному уравнению в форме ax+by+cz+dt=e, скопировав подобное определение плоскости в пространстве. С определениями подобного рода можно развивать непротиворечивую геометрию, доказывать теоремы и так далее. По сути, это единственный способ серьезно работать с пространствами высших размерностей. Но цель этого фильма не в том, чтобы быть "слишком серьезным", а скорее в том, чтобы "показать" четвертое измерение и объяснить интуицию некоторых математиков в отношении него.

Вторым Шлефли дает нам объяснение "по аналогии". Идея заключается в том, чтобы внимательно рассмотреть размерности 1, 2 и 3, заметить некоторые явления, а затем предположить, что эти явления есть и в четвертом измерении. Это трудная игра, и она не всегда удаётся. Ящерица, которая покидает свой мир и выходит в трехмерное пространство, должна ожидать сюрпризов, и ей потребуется некоторое время, чтобы приспособиться. Это верно и в отношении математиков, которые забираются в четвертое измерение "по аналогии"… Шлефли приводит пример последовательности "отрезок, равносторонний треугольник, правильный тетраэдр". Создается впечатление, что есть аналогия между этими объектами — нет никаких сомнений, что правильный тетраэдр в каком-то смысле, обобщает равносторонние треугольники на случай размерности 3.
Тогда что же является объектом, который обобщает тетраэдры в четвертом измерении?

Отрезок имеет две вершины и лежит в размерности 1. Треугольник имеет три вершины и лежит в размерности 2. Тетраэдр имеет четыре вершины и находится в размерности 3. Соблазнительно предположить, что последовательность продолжается — что есть объект в четырёхмерном пространстве, который имеет пять вершин и продолжает последовательность. Мы видим, что и в треугольнике, и в тетраэдре каждая пара вершин соединена ребром.

Если попытаться объединить пять вершин попарно друг с другом, не сильно задумываясь о пространстве, в котором мы рисуем — мы увидим, что для этого потребуется десять ребер.

Затем, вполне естественно, попытаться разместить треугольные грани между каждыми тремя вершинами. Опять же, мы насчитаем их десять. Продолжим и поместим по тетраэдру между каждыми четырьмя вершинами. Объект, который мы только что построили, еще не имеет четкого статуса… мы знаем вершины, ребра, грани и трёхмерные грани, но мы пока еще не видим его ясно.

Математики говорят, о комбинаторике, чтобы описать то, что мы знаем: мы знаем, какие ребра соединяют какие вершины, но мы до сих пор не имеем геометрического изображения объекта. Этот объект, о существовании которого мы только что догадались и который продолжает последовательность из отрезка, треугольника и тетраэдра, называется Симплекс!
Многогранники Шлефли
.
Многоугольники рисуют на плоскости, а многогранники в обычном трёхмерном пространстве. Аналогичные объекты в размерности 4 (или более!) обычно называются политопами однако их часто тоже называют просто многогранниками.

В то время, как Платон обсуждал правильные многогранники в обычном трёхмерном пространстве, Шлефли описывал правильные многогранники в размерности 4. Некоторые из них поразительно роскошны, и фильм покажет их трёхмерным зрителям (вам и мне!), тем же способом, как ящерицам — многогранники Платона; в этом фильме вы не увидите цветов или книг (авторы должны признать, что им было бы очень трудно показать вам цветы в размерности 4, а жаль!). Здесь мы представляем одно из самых ценных достижений Шлефли: полное и точное описание шести правильных многогранников в размерности 4. Поскольку они живут в размерности 4, у них есть вершины, ребра, грани размерности 2 и грани размерности 3. Вот таблица с именами этих многогранников, количеством ребер, граней и т.д. Эта таблица будет полезна для восприятия их визуализаций.:
"Видеть" в 4-х измерениях
.
Каким образом можно "видеть" в 4-х измерениях? К сожалению, мы не можем дать вам 4D-очки, но есть и другие способы!

Метод сечений:

Мы начнем так же, уже начинали с ящерицами. Мы находимся в нашем трёхмерном пространстве и представляем себе, что объект движется в четырёхмерном пространстве и наше трёхмерное пространство постепенно пересекает.

Сечение теперь находится в нашем пространстве, и вместо деформирующегося многоугольника представляет собой изменяющийся многогранник. Мы можем получить интуитивное представление о форме четырёхмерного многогранника, наблюдая, как его сечения постепенно деформируются и наконец исчезают. Распознавать объект таким образом — задача непростая, даже труднее, чем у ящериц.
В фильме мы познакомимся с тремя многогранниками: с гиперкубом и с так называемыми 120 и 600.

Вы увидите, как они пересекают наше пространство и посмотрите на их сечения — изменяющиеся трехмерные многогранники. Впечатляющие! Но нелегко для понимания.

Рисунок справа показывает 600, проходящий через наше трёхмерное пространство.Щёлкните по рисунку для просмотра фильма. Так как четвертое измерение нелегко понять, то хорошо бы использовать несколько взаимодополняющих методов.

Метод теней:

Другой метод, который мы приводим в этой главе, даже более нагляден, чем метод сечений. Мы могли бы использовать его и с ящерицами. Это — техника художника, который хочет изобразить ландшафт, содержащий трёхмерные объекты, на двумерном холсте. Он проецирует изображение на холст.
Например, он может поместить источник света за объектом и наблюдать тени от объекта на холсте. Тень объекта дает лишь частичную информацию, однако, если объект вращать перед источником света и наблюдать каким образом меняется тень, часто можно получить очень точное представление об объекте. Все это — искусство перспективы.

Можно применить ту же идею: представьте себе четырёхмерный объект и лампу, проецирующую его тень на "холст", в качестве которого выступает наше трёхмерное пространство. Если объект вращается в четырёхмерном пространстве — тень изменяется, и мы получаем представление об объекте, даже если мы его не видим!

Первым мы видим гиперкуб, гораздо яснее, чем для метода сечений.

Затем 24 — объект, которым, мы думаем, Шлефли гордился! Причина заключается в том, что этот новичок действительно представляет собой нечто новое, он не обобщает ни одного трёхмерного многогранника, как в случае других многогранников. Кроме того, он обладает замечательным свойством самодвойственности: например, он имеет столько же 2-мерных граней, сколько и 1-мерных граней (рёбер), а также столько же 3-мерных граней, сколько и 0-мерных (вершин).

Наконец, мы наблюдаем многогранники 120 и 600, сечения которых мы уже видели. Эта новая точка зрения показывает нам другие аспекты этих четырёхмерных многогранников, которые действительно трудны для понимания. Эти два метода, сечений и теней, имеют свои преимущества, но мы должны признать, что они не показывают всех симметрий этих великолепных объектов.

В следующей главе мы будем использовать другой метод, называемый стереографической проекцией! Может быть, он поможет нам видеть яснее?
Цикл книг «Фракталы и Хаос»