"Видеть" в четырёх измерениях: стереографическая проекция
Глава 4
Глава 4. "Видеть" в 4-х измерениях: стереографическая проекция (видео)
Шлефли представляет нам последний метод изображения многогранников в четырёх измерениях. Он состоит просто в использовании стереографической проекции. Но, конечно, это не та же проекция, которую Гиппарх показывал нам в главе 1!
Мысленно окажемся в четырёхмерном пространстве, и рассмотрим там сферу. Чтобы определить, что такое сфера, мы воспользуемся обычным определением: сфера это множество точек в этом пространстве, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой точки, называемой центром.
Мысленно окажемся в четырёхмерном пространстве, и рассмотрим там сферу. Чтобы определить, что такое сфера, мы воспользуемся обычным определением: сфера это множество точек в этом пространстве, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой точки, называемой центром.
Мы видели, что сфера в трёхмерном пространстве является двумерной, потому что ее точки описываются долготой и широтой. В некотором смысле, сфера в 3-мерном пространстве является лишь 2-мерной потому, что у нее "отсутствует одно измерение": высота над сферой. Точно так же, сфера в 4-мерном пространстве будет 3-мерной, и у нее также "отсутствует" измерение — опять же, высота над сферой.
Что такое сфера на плоскости, то есть, в 2-мерном пространстве? Это совокупность точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центра, иначе говоря, окружность. Таким образом, окружность — это сфера в 2-мерном пространстве! И, конечно, она является одномерной, так как достаточно одного числа для того, чтобы задать положение точки на окружности.
Еще более удивительно: что такое сфера в одномерном пространстве, то есть на прямой? Множество точек, расположенных на одном и том же расстоянии от заданной точки на прямой. Есть только две такие точки — одна слева, другая справа… Значит, сфера в одномерном пространстве содержит только две точки… Неудивительно, что мы говорим, что она имеет нулевую размерность.
Подводя итог: сфера в n-мерном пространстве имеет размерность n-1 и поэтому математики используют для ее обозначения символ Sn-1.
Что такое сфера на плоскости, то есть, в 2-мерном пространстве? Это совокупность точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центра, иначе говоря, окружность. Таким образом, окружность — это сфера в 2-мерном пространстве! И, конечно, она является одномерной, так как достаточно одного числа для того, чтобы задать положение точки на окружности.
Еще более удивительно: что такое сфера в одномерном пространстве, то есть на прямой? Множество точек, расположенных на одном и том же расстоянии от заданной точки на прямой. Есть только две такие точки — одна слева, другая справа… Значит, сфера в одномерном пространстве содержит только две точки… Неудивительно, что мы говорим, что она имеет нулевую размерность.
Подводя итог: сфера в n-мерном пространстве имеет размерность n-1 и поэтому математики используют для ее обозначения символ Sn-1.
S0
S1
S2
S3
В начале главы объясняется, что такое сфера S³; но, конечно же, даже Шлефли не может показать нам ее. Все, что он может - это показать вам сферу S³, и призвать Вас продолжить, как если бы вы были в четырёх измерениях, представив себе сферу S³… Стереографическая проекция, представленная Гиппархом, проецирует сферу S² на касательную плоскость в южном полюсе. Можно действовать точно так же с S³. Возьмём касательное пространство к южному полюсу сферы S³, которое является трёхмерным; мы можем спроецировать любую точку S³ (за исключением северного полюса) на это пространство. Достаточно провести прямую линию, продолжив отрезок от северного полюса до нашей точки, до тех пор, пока она не пересечет касательного пространства южного полюса… Даже если это и происходит в четырёх измерениях, картина будет полностью аналогичная тому, что мы уже видели.
Допустим, что Шлефли хочет показать нам один из этих четырёхмерных многогранников. Он делает то, что мы уже делали с рептилиями. Он надувает многогранник, пока он не окажется лежащим на сфере S³. Затем он стереографически спроецирует его на касательную плоскость южного полюса, которым является наше трёхмерное пространство, — и мы увидим эту проекцию.
Мы также можем катать сферу S³ по касательной плоскости, а затем проецировать ее, таким образом наблюдая танец многогранников.
Отметим, что когда при вращении сферы какая-либо грань многогранника проходит через полюс проекции, её проекция оказывается бесконечной — и нам кажется, что грань взрывается на экране. Мы видели такой же эффект в главе 1, когда многогранники проецировались на плоскость.
Это иллюстрация из 4-й главы фильма: стереографическое проецирование многогранников Шлефли с одновременным их вращением.
Отметим, что когда при вращении сферы какая-либо грань многогранника проходит через полюс проекции, её проекция оказывается бесконечной — и нам кажется, что грань взрывается на экране. Мы видели такой же эффект в главе 1, когда многогранники проецировались на плоскость.
Это иллюстрация из 4-й главы фильма: стереографическое проецирование многогранников Шлефли с одновременным их вращением.
Геометрия четырёхмерного пространства является лишь началом, так как есть также пространства размерности 5, 6… и даже пространства с бесконечным числом измерений! Сначала считавшиеся чистой абстракцией, они широко используются в современной физике. Теория относительности Энштейна пользуется четырёхмерным пространством-временем. Точки этого пространства-времени описываются тремя числами, задающими положение в пространстве, и четвертым, описывающим момент времени.
Но сила теории относительности заключается именно в том, что эти четыре координаты в определённой мере смешиваются, не давая предпочтения времени или пространству, которые таким образом теряют свою индивидуальность. Мы не будем объяснять эту теорию, потому, что Шлефли не знал о ней! Теория относительности Энштейна датируется 1905 годом — гораздо позже рождения математической идеи о четырёх измерениях. Это не первый и не последний раз, когда физика и математика плодотворно взаимодействуют, каждая применяя свои методы, которые, несмотря на различные цели и мотивации, оказываются тем не менее очень близкими…
Кроме того, разве сегодняшние физики не постулируют существования пространств размерности 10 или больше, и разве квантовая физика не работает с бесконечномерным пространством? Придется немного подождать, пока мы не сделаем фильм о пространствах размерности 10…
Но сила теории относительности заключается именно в том, что эти четыре координаты в определённой мере смешиваются, не давая предпочтения времени или пространству, которые таким образом теряют свою индивидуальность. Мы не будем объяснять эту теорию, потому, что Шлефли не знал о ней! Теория относительности Энштейна датируется 1905 годом — гораздо позже рождения математической идеи о четырёх измерениях. Это не первый и не последний раз, когда физика и математика плодотворно взаимодействуют, каждая применяя свои методы, которые, несмотря на различные цели и мотивации, оказываются тем не менее очень близкими…
Кроме того, разве сегодняшние физики не постулируют существования пространств размерности 10 или больше, и разве квантовая физика не работает с бесконечномерным пространством? Придется немного подождать, пока мы не сделаем фильм о пространствах размерности 10…
Цикл книг «Фракталы и Хаос»
Мы в соцсетях:
©
Оставить свой отзыв
Оставить свой отзыв
Designed by miradox.com
ООО "Страта" , 2020
Издательство научно-популярной литературы "Страта"
Санкт-Петербург
Заневский пр., д. 65, к 5
Заневский пр., д. 65, к 5
