Дальнейшее несложно. После всех приведенных рассуждений определим комплексное число
z как пару действительных чисел
(x,y), то есть как точку плоскости. Мы обозначим
z = x + i y. Теперь мы собираемся объяснить, как складывать и умножать комплексные числа, а также показать, что все привычные свойства арифметических операций по-прежнему выполняются. Например, нам надо проверить, что сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых. Все это можно сделать строго, но это заведомо не является целью нашего фильма. Вот
здесь, к примеру, изложена теория комплексных чисел.
Для сложения эта проверка проста: у нас есть формула
(x+i y) + (x'+i y') = (x+x')+ i (y +y'), поэтому сложение комплексных чисел сводится к сложению соответствующих векторов.