Комплексные числа
Глава 5

Глава 5. Комплексные числа (видео)
Математик Адриен Дуади рассказывает о комплексных числах. Он простым языком объясняет, что такое корень из отрицательного числа. Преобразования плоскости, искажения рисунков, построение фракталов.

Теория комплексных чисел — один из самых красивых разделов математики, играющий важную роль в современной науке. Путь к их открытию был непростым, чему свидетельством — исходная, а частично и сохранившаяся, терминология: их называли невозможными, мнимыми, да и слово комплексные (английское прилагательное complex означает сложный) вызывает ощущение, что они трудны для понимания. К счастью, это уже не так: сейчас мы можем описать их относительно просто.
Эти главы представляет Адриен Дуади. Этот замечательный математик, внёсший вклад в самые разные области математики, любил говорить, что все его исследования связаны с комплексными числами.
Одна из особенностей этой теории заключается в том, что в ней возникает немало красивых фрактальных множеств, которые теперь, благодаря компьютерам, можно нарисовать. Адриен Дуади очень поощрял создание таких картинок — как для помощи математикам в их исследованиях, так и для популяризации математики.

Мы также обязаны Дуади созданием математического фильма под названием Динамика кролика: он любил давать математическим объектам неожиданные имена — кролик, самолёт, шедок (персонаж мультфильма), и так далее. Его недавняя смерть глубоко опечалила математическое сообщество.

Понятно, что даже Адриен Дуади не сможет рассказать всю теорию комплексных чисел в двух 13-минутных главах. Эти главы не могут заменить ни университетский курс, ни книгу, ни подробное изложение. Их следует воспринимать как дополнение, или иллюстрацию, побуждающую к дальнейшему изучению комплексных чисел, или, быть может, как напоминание о давно забытых уроках. Конечно, основная цель фильма — наглядно продемонстрировать геометрическую сторону комплексных чисел.

Числа и преобразования
.
Мы видели, что прямая одномерна, поскольку точку на ней можно задать одним числом: положительным, если точка находится справа, и отрицательным, если слева от начала отсчета. Точки — это геометрические объекты, а числа — алгебраические. Идея думать о числах как о точках, а о точках — как о числах, то есть смешивать алгебру и геометрию — одна из самых плодотворных в математике. Как всегда, эту идею непросто приписать одному человеку, но, как правило, этот мощный метод изучения геометрии при помощи алгебры приписывают Декарту: его открытие породило алгебраическую геометрию. Если точки на прямой — это числа, то простейшие действия над числами, сложение и умножение, должны иметь геометрический смысл. Ключевую роль в выяснении этого смысла играет идея преобразований.
К примеру, вычитание единицы из числа x, то есть преобразование x-1, может быть представлено геометрически как перенос: все точки сдвигаются влево на 1. Аналогично, умножение на 2 можно понимать как растяжение.

Умножение на -1, которое переводит каждую точку x в точку -x, можно понимать как симметрию — каждая точка переходит в симметричную ей относительно начала координат. Умножение на -2 — это композиция двух предыдущих операций. Вообще, умножение двух чисел становится композицией соответствующих преобразований. Например, отображение, соответствующее умножению на -1 — это симметрия, и когда мы прменяем эту операцию два раза подряд, мы попадаем обратно в исходную точку — просто потому, что произведение -1 на себя — это +1: квадрат -1 равен +1.

По этой же причине квадрат -2 равен +4. Из всех этих рассуждений следует, что квадрат любого числа положителен. Не существует числа, квадрат которого равен -1.

Другими словами, из -1 нельзя извлечь квадратный корень.
Квадратный корень из -1
.
Долгое время невозможность нахождения квадратного корня из -1 была догмой, которая не требовала обсуждения. В эпоху Ренессанса некоторые изобретательные души осмелились нарушить табу.
Если мы осмелимся написать √-1, тогда можно будет писать такие числа, как, например, 2 + 3√-1, и формально с этими числами работать, не пытаясь понять их смысл. Эти первопроходцы более-менее экспериментально установили, что вычисления с этими невозможными числами, кажется, не приводят ни к каким противоречиям, и математики постепенно признали эти числа без какого бы то ни было настоящего подтверждения.

История этих новых чисел довольно длинна, и мы не собираемся описывать шаги, которые привели к появлению у этой теории надёжных основ. Достаточно сказать — очень упрощенно — что в течение девятнадцатого века несколько математиков, среди которых Гаусс, Вессель и Арган, нашли геометрическую интерпретацию этих воображаемых чисел. В фильме мы покажем упрощенный вариант очень простой идеи Аргана.

Число -1 соответствует центральной симметрии относительно нуля, то есть повороту на 180°. Чтобы найти корень квадратный из -1, надо найти преобразование, которое, примененное дважды, даст поворот на 180°. Поэтому Арган объявляет, что квадратный корень из -1 должен соответствовать просто повороту на 90°. Применение двух поворотов на 90° даёт поворот на 180°, то есть умножение на -1.

Развивая эту идею, хотелось бы сказать, что квадратный корень из -1 должен быть получен применением поворота на 90° к 1. Конечно, образ 1 при повороте на 90° не лежит на прямой, — и поэтому мы только что решили, что квадратный корень из -1 это точка, которая лежит не на прямой, а на плоскости!
Идея проста и красива: считать точки плоскости числами. Конечно, это уже не те числа, к которым мы привыкли. Поэтому мы и говорим, что традиционные числа — это действительные числа, а те числа, которые мы сейчас определяем, и которые соответствуют точкам на плоскости — это комплексные числа.

Задавая точку на плоскости её двумя координатами (x,y), — действительными числами, — мы видим, что прямая, которую мы только что покинули, это прямая, заданная уравнением y=0, а точка, полученная из 1 поворотом на 90° — это точка (0,1). Именно эту точку Арган считал корнем из -1. Математики, по-прежнему изумленные этой ловкостью рук, обозначают это число буквой i, от слова imaginary — воображаемый. Так как мы хотели бы уметь складывать эти числа, мы можем рассмотреть число x+iy, — ему будет соответствовать точка с координатами (x,y).

Итак, Арган предлагает рассмотривать точки (x,y) на плоскости не как пары (действительных) чисел, а как одно (комплексное) число. Это может показаться очень неожиданным, и, наверное, искусственным, но далее мы убедимся в продуктивности этой идеи.
Арифметика комплексных чисел
.
Дальнейшее несложно. После всех приведенных рассуждений определим комплексное число z как пару действительных чисел (x,y), то есть как точку плоскости. Мы обозначим z = x + i y. Теперь мы собираемся объяснить, как складывать и умножать комплексные числа, а также показать, что все привычные свойства арифметических операций по-прежнему выполняются. Например, нам надо проверить, что сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых. Все это можно сделать строго, но это заведомо не является целью нашего фильма. Вот здесь, к примеру, изложена теория комплексных чисел.

Для сложения эта проверка проста: у нас есть формула (x+i y) + (x'+i y') = (x+x')+ i (y +y'), поэтому сложение комплексных чисел сводится к сложению соответствующих векторов.
Для умножения это несколько сложнее:

(x+i y).(x'+i y') = xx' + i xy' + i yx' + i2 yy' = (xx'-yy') + i (xy'+x'y) То, что эта формула задаёт хорошую операцию умножения — это маленькое чудо. Например, из неё не сразу ясно, что три комплексных числа можно перемножать в любом порядке и получать тот же самый ответ, а также то, что на ненулевое комплексное число всегда можно делить. Это маленькое чудо в фильме не объяснено — это увело бы нас слишком далеко!

Вот два понятия, которые будут нам полезны в дальнейшем:

Модуль комплексного числа z= x +i y — это просто расстояние от соответствующей точки (x,y) до нуля. Его обозначают через |z|; по теореме Пифагора, он равен √ (x2+y2). Например, модуль числа i равен 1, а числа 1+i равен √2.

Аргумент
комплексного числа задаёт направление вектора z. Его обозначают Arg(z); это — не что иное, как угол между осью абсцисс и лучом, соединяющим ноль с точкой (x,y). Аргумент определён только в том случае, когда число z не равно нулю. К примеру, аргумент числа i равен 90°, числа 1 — нулю, числа -1 — 180°, а числа 1+i45°.

Долгое время математики пытались проделать то же самое в размерности 3: как научиться перемножать точки пространства? Им потребовалось много времени, чтобы понять, что это невозможно. В 4-мерном пространстве оказалось, что это частично возможно, а именно, умножение перестаёт удовлетворять равенству ab=ba. Более того, было обнаружено, что в 8-мерном пространстве это тоже возможно, если отказаться от требования (ab)c=a(bc). Наконец, в середине XX в было доказано, что в размерностях, отличных от 1, 2, 4, 8, хорошее произведение точек определить невозможно.

Подведём итоги сказанного. Итак, каждая точка плоскости задаётся одним комплексным числом. Плоскость, которую мы раньше называли двумерной, стала одномерной! Здесь нет никакого противоречия: плоскость имеет два вещественных измерения, но она же является одномерной комплексной прямой. Вещественная плоскость, комплексная прямая... Два вещественных измерения, одно комплексное. Игра слов?
... и снова стереографическая проекция!
.
Вспомним, как работает стереографическая проекция: она отображает двумерную сферу без северного полюса на плоскость, касающуюся сферы в южном полюсе. Когда точка приближается к северному полюсу, её проекция удаляется от нуля на плоскости, и можно сказать, что она стремится к бесконечности. Можно сказать, что северный полюс переходит в бесконечно удалённую точку.

Далее, если рассматривать касательную плоскость как комплексную прямую, можно понять, почему сферу размерности 2 (вещественной!) часто рассматривают как комплексную проективную прямую. Вот прекрасный пример математической акробатики: назвать сферу прямой!

Разве Анри Пуанкаре не говорил, что математика — это искусство называть одинаковыми словами разные вещи?

Цикл книг «Фракталы и Хаос»