T(z) = iz
Это просто поворот на 90°, по определению числа i...

T(z) = (1+i)z
Так как модуль числа 1+i равен √2, а аргумент равен 45°, преобразование является композицией поворота на 45° и гомотетии с коэффициентом √2. Это — преобразование подобия. Большое преимущество комплексных чисел заключается в том, что они позволяют описывать преобразования подобия просто как умножения на числа.

T(z) = z²
Вот наше первое нелинейное преобразование. Разместив фотографию двумя разными способами, мы знакомимся с действием возведения в квадрат на комплексной прямой: модули возводятся в квадрат, а аргументы удваиваются.

T(z) = -1/z
Это преобразование близко к инверсии. Конечно, к началу координат, которое соответствует числу 0, это преобразование применить нельзя, но мы уговоримся считать, что точка 0 переходит в бесконечность. Мотивировка очень проста: когда комплексное число z приближается к 0, то есть его модуль стремится к 0, модуль его образа |-1/z| обратен к модулю z, а значит, он стремится к бесконечности. Значит, у этого преобразования в нуле происходит взрыв: маленькая окресность нуля переходит очень далеко — за пределы экрана. И наоборот, точки, которые были очень далеко от нуля, стягиваются, переходя в точки, очень близкие к нулю.

Долгое время школьные пособия уделяли инверсии большое внимание, потому что она позволяет доказывать очень красивые теоремы. Главное свойство инверсии состоит в том, что она переводит окружности в окружности или прямые. Художники часто используют преобразования такого вида, называя их анаморфозами.

Более общо, можно выбрать четыре комплексных числа a, b, c, d и рассмотреть преобразование вида

T(z) = (az+b)/(cz+d).

Математики называют эти преобразования по-разному: преобразования Мёбиуса, гомографии, проективные преобразования. Они замечательны тем, что они (и только они) переводят любую окружность в окружность или прямую.

Цель этой иллюстрации — показать фундаментальное свойство преобразований этого типа. Конечно, они уже не переводят окружности в окружности (так делают только преобразования Мёбиуса), — но это свойство остаётся на инфинитезимальном уровне. Если взять очень маленькую окружность и посмотреть, во что она переходит — итоговая кривая, пусть и не будет окружностью, будет очень на неё похожа, тем больше, чем меньше была исходная окружность. Можно также сказать, что такие преобразования на инфинитезимальном уровне ведут себя, как преобразования подобия.

Эти преобразования называются голоморфными или конформными. Греческие и латинские корни holo и con означают такой же, а morph и form означают форма. Другими словами, эти преобразования сохраняют форму. Теория голоморфных функций — один из важнейших разделов математики.

Во второй части 6-й главы Адриен Дуади рассказывает основы замечательной теории — голоморфной динамики, в развитие которой он внёс очень большой вклад. Речь пойдёт о множествах Жюлиа, которые не только обладают интересными математическими свойствами, но и очень красивы (и эти два их качества взаимосвязаны). Редкую математическую теорию можно так красиво проиллюстрировать; многих художников вдохновили получающиеся картинки.

Начнём с очень простой конструкции: выберем произвольное комплексное число c и рассмотрим преобразование T(z)=z²+c. При этом преобразовании каждое число z сначала возводится в квадрат, а потом сдвигается на c. Выберем какую-нибудь начальную точку z; при преобразовании она переходит в точку z₁=T_c(z). Далее, преобразуем полученную точку: z₂=T_c(z₁), и так далее до бесконечности.

Рассмотрим сначала очень простой случай c=0. В этом случае наше преобразование принимает вид T_c(z)=T₀(z)=z². Следовательно, модуль каждого следующего числа z_n — это квадрат модуля предыдущего. Если модуль z не превосходит 1, то есть точка z лежит в круге радиуса 1 с центром в нуле, то все точки z_n тоже будут лежать в этом круге. С другой стороны, если модуль z больше 1, то модули z_n будут постоянно расти, и даже стремиться к бесконечности: орбита z выйдет за пределы экрана.

В первом случае говорят, что орбита устойчива, она не вылетает за пределы некоторой ограниченной области на плоскости. Во втором случае она неустойчива: она стремится к бесконечности. Таким образом, множество точек z, орбиты которых устойчивы — это диск.

Более общо, для каждого значения c мы тоже можем выделить два различных типа орбит. Орбита точки z при T_c устойчива, если она остаётся в ограниченной области, а иначе неустойчива. Множество точек z, орбиты которых устойчивы, называется заполненным множеством Жюлиа преобразования T_c. Понимание структуры этих множеств Жюлиа и того, как они изменяются при изменении параметра c, является одной из основных целей теории голоморфных динамических систем. Сначала Адриен Дуади показывает нам несколько примеров множеств Жюлиа для различных значений параметра c. Некоторые из этих множеств называются весьма экзотично, например, кролик (видите его уши?) для c=0.12+0.77i.

С начала XX века было известно, что множества Жюлиа бывают двух типов. Оно может состоять из одной компоненты — быть связным, как сказал бы математик, — или быть вполне несвязным, состоять из бесконечного числа отдельных частей, ни одна из которых не имеет внутренних точек, то есть невидима на картинке. Поэтому для одних значений параметра c мы видим множество Жюлиа, а для других — нет (хотя оно и непусто).

Множество значений c, для которых мы видим множество Жюлиа, называется множеством Мандельброта в честь придумавшего его Бенуа Мандельброта. Адриен Дуади многое сделал для понимания структуры этого множества; например, он участвовал в доказательстве его связности, и он (как и многие другие) был бы рад доказать локальную связность множества Мандельброта.

Конец этой главы посвящён погружению в множество Мандельброта; погружению глубокому, поскольку коэффициент увеличения достигает двухсот миллиардов!

Например, что означают цвета? Давно было доказано, что множество Жюлиа несвязно (иными словами, число c не принадлежит множеству Мандельброта) тогда и только тогда, когда орбита точки 0 под действием T_c неустойчива. Для заданного значения c мы можем следить за поведением орбиты нуля при больших значениях n. Если z_n быстро становится очень большим, то точка c не лежит в множестве Мандельброта, и, более того, достаточно сильно удалена от него. Если последовательность z_n стремится к бесконечности, но медленнее, то точка c всё ещё не принадлежит множеству Мандельброта, но в некотором смысле ближе к нему. Цвет, в который мы раскрашиваем точку c, зависит от скорости, с которой последовательность z_n стремится к бесконечности, таким образом показывая, насколько точка близка к множеству Мандельброта. С другой стороны, если последовательность z_n не выходит из некоторой ограниченной области, то точка c принадлежит множеству Мандельброта, и мы её красим в чёрный цвет.