Глава 7. Расслоение (видео)
Математик Хейнц Хопф описывает названное его именем расслоение. При помощи комплексных чисел он строит красивую конфигурацию окружностей в пространстве.
Топология — это наука, изучающая деформации. Так, например, чашка и тор это разные вещи, но мы можем перевести одну в другую непрерывной деформацией.
Топология — это наука, изучающая деформации. Так, например, чашка и тор это разные вещи, но мы можем перевести одну в другую непрерывной деформацией.
Тела, которые можно перевести друг в друга непрерывной деформацией, называются гомеоморфными (имеющими одинаковую форму); cогласно известной шутке, тополог — это человек, не способный отличить кофейную чашку от бублика!
Для того, чтобы топология оформилась как отдельная дисциплина со своими собственными вопросами и оригинальными методами, как правило, качественного характера, потребовалось немало времени.
Основателем топологии, несмотря на таких значительных предшественников, как Эйлер, Риман, Листинг или Тейт, обычно считается Анри Пункаре (он называл её анализом расположений).
Наш рассказчик, Хейнц Хопф (1894 —1971) — одни из наиболее ярких его последователей в первой половине двадцатого века.
Для того, чтобы топология оформилась как отдельная дисциплина со своими собственными вопросами и оригинальными методами, как правило, качественного характера, потребовалось немало времени.
Основателем топологии, несмотря на таких значительных предшественников, как Эйлер, Риман, Листинг или Тейт, обычно считается Анри Пункаре (он называл её анализом расположений).
Наш рассказчик, Хейнц Хопф (1894 —1971) — одни из наиболее ярких его последователей в первой половине двадцатого века.
Сфера S3 в C2
.
Мы уже видели, что сфера S3 единичного радиуса в четырехмерном пространстве это множество точек, находящихся на единичном расстоянии от начала координат. Если в этом пространстве мы рассмотрим вещественные координаты x1, y1, x2, y2, она будет задаваться уравнением
x12 + y12 + x22 + y22= 1. Но мы можем думать о паре (x1,y1), как о комплексном числе z1=x1+i y1, а о паре (x2,y2) как о комплексном числе z2=x2+i y2. Тогда сфера представится как множество комплексных пар (z1,z2), таких, что
|z1|2 + |z2|2 = 1.
x12 + y12 + x22 + y22= 1. Но мы можем думать о паре (x1,y1), как о комплексном числе z1=x1+i y1, а о паре (x2,y2) как о комплексном числе z2=x2+i y2. Тогда сфера представится как множество комплексных пар (z1,z2), таких, что
|z1|2 + |z2|2 = 1.
Иными словами, четырехмерную сферу можно рассматривать как единичную сферу на плоскости комплексной размерности 2. По аналогии (но только по аналогии), можно изображать сферу S3 окружностью на плоскости, но не надо забывать, что эта плоскость комплексная, и что координаты z1 и z2 -- комплексные числа. В частности, координатная ось z2=0 — это комплексная прямая, то есть вещественная плоскость, и пересекает она нашу сферу по множеству точек (z1,0), где |z1|2=1, то есть, по (обыкновенной) окружности S1. То же верно и для оси z1=0, и вообще для любой проходящей через 0 комплексной прямой z2=az1, где a -- это комплексное число. Таким образом, каждое комплексное число a задает комплексную прямую, которая пересекается со сферой по окружности. То есть, каждому комплексному a соответствует лежащая в S3 окружность.
Правда, прямая z1 =0 не задается в виде z2 = az1, и мы будем считать её соответствующей a, равному бесконечности (разве вертикальная прямая не имеет в некотором смысле бесконечный угловой коэффициент?).
Теперь вся сфера S3 заполнена окружностями, по одной на каждое комплексное число и на бесконечность -- иными словами, им сопоставлены точки двумерной сферы S2. Никакие две окружности, соответствующие разным значениям a, не пересекаются. Это разбиение трехмерной сферы на окружности называется расслоением Хопфа.
Теперь вся сфера S3 заполнена окружностями, по одной на каждое комплексное число и на бесконечность -- иными словами, им сопоставлены точки двумерной сферы S2. Никакие две окружности, соответствующие разным значениям a, не пересекаются. Это разбиение трехмерной сферы на окружности называется расслоением Хопфа.
Напомним, что если X и Y -- два множества, то отображение, обычно обозначающееся f : X → Y — это правило, по которому каждому элементу X сопоставляется элемент Y.
Например, можно рассмотреть отображение Хопфа f : S3 → S2, сопоставляющее точке (z1,z2) сферы S3 точку z1/z2 сферы S2.
Это место нуждается в двух комментариях.
Во-первых, точка S3 является точкой двумерного комплексного пространства, следовательно, может быть задана парой комплексных координат (z1,z2).
Во-вторых, как мы уже видели при помощи стереографической проекции, если добавить к плоскости "бесконечно удаленную точку", то получится сфера S2. И, поскольку величина z2/z1 определена при ненулевом значении z1, а при нулевом обращается в бесконечность, — отношение z2/z1 корректно определяет точку сферы S2.
Например, можно рассмотреть отображение Хопфа f : S3 → S2, сопоставляющее точке (z1,z2) сферы S3 точку z1/z2 сферы S2.
Это место нуждается в двух комментариях.
Во-первых, точка S3 является точкой двумерного комплексного пространства, следовательно, может быть задана парой комплексных координат (z1,z2).
Во-вторых, как мы уже видели при помощи стереографической проекции, если добавить к плоскости "бесконечно удаленную точку", то получится сфера S2. И, поскольку величина z2/z1 определена при ненулевом значении z1, а при нулевом обращается в бесконечность, — отношение z2/z1 корректно определяет точку сферы S2.
Для каждой точки a сферы S2, множество точек сферы S3, которые под действием f переходят в a (то есть, прообраз a) мы будем назвать слоем над точкой a. То, что этими слоями будут окружности, ясно из предыдущего рассуждения: просто для всех точек, лежащих на прямой z2=az1, отношение z2/z1 постоянно (и равно a).
Расслоение
.
В фильме мы сначала присмотримся поближе к этому расслоению. Каждому a сопоставлена окружность на S3. Но как эту окружность изобразить? Конечно, с помощью стереографической проекции! Спроецируем сферу S3 на (трёхмерное) касательное пространство в точке, противоположной точке проецирования (северному полюсу).
Проекция окружности -- окружность в нашем пространстве, которой вы можете восхищаться! (Помните ящериц?) Конечно, может так случиться, что окружность проходила через северный полюс, тогда её проекцией будет прямая (окружность, "потерявшая точку", которая убежала на бесконечность!).
Итак, вот несколько иллюстраций этого расслоения.
Сначала мы видим только одну окружность расслоения, соответствующую меняющемуся значению a.
Проекция окружности -- окружность в нашем пространстве, которой вы можете восхищаться! (Помните ящериц?) Конечно, может так случиться, что окружность проходила через северный полюс, тогда её проекцией будет прямая (окружность, "потерявшая точку", которая убежала на бесконечность!).
Итак, вот несколько иллюстраций этого расслоения.
Сначала мы видим только одну окружность расслоения, соответствующую меняющемуся значению a.
Точка a перемещается по сфере S2 (помните -- комплексная плоскость с бесконечно удаленной точкой), и мы видим, как окружность перемещается в пространстве, иногда становясь прямой, когда a проходит через точку на бесконечности.
Затем мы видим две окружности расслоения, соответствующие двум значениям a; оба значения меняются со временем. Внизу экрана видно как параметры движутся по комплексной плоскости, -- и одновременно соответствующим образом движутся и окружности. Кстати, видно, что эти две окружности зацеплены, как два звена в цепи: их нельзя разделить, не разрывая.
Затем мы наблюдаем за поведением трех окружностей. Они сближаются и отдаляются...
Затем мы видим две окружности расслоения, соответствующие двум значениям a; оба значения меняются со временем. Внизу экрана видно как параметры движутся по комплексной плоскости, -- и одновременно соответствующим образом движутся и окружности. Кстати, видно, что эти две окружности зацеплены, как два звена в цепи: их нельзя разделить, не разрывая.
Затем мы наблюдаем за поведением трех окружностей. Они сближаются и отдаляются...
Наконец, мы видим много окружностей одновременно. Значения a выбираются случайно, и соответствующие окружности понемногу появляются, одна за другой. Таким образом, мы "видим", что пространство заполнено такими окружностями, -- и что они попарно не пересекаются. Теперь нам видно, что эти окружности устроены как нити в ткани: локально они упакованы, как пачка спагетти. Кстати, в английском языке термин расслоение (fibration) и слово нить (fibre) однокоренные. Понятие расслоения, прототипом которого является отображение Хопфа, стало центральным понятием в топологии и в математической физике. Бывают намного более сложные расслоения, расслоения в пространствах гораздо большей размерности, -- но всегда полезно хорошо понимать этот исторический пример!
Думать о вещественной плоскости как о комплексной прямой бывает полезно, но думать о четырехмерном вещественном пространстве как о двумерной комплексной плоскости еще полезнее!
Думать о вещественной плоскости как о комплексной прямой бывает полезно, но думать о четырехмерном вещественном пространстве как о двумерной комплексной плоскости еще полезнее!
Цикл книг «Фракталы и Хаос»
Мы в соцсетях:
©
Оставить свой отзыв
Оставить свой отзыв
Designed by miradox.com
ООО "Страта" , 2020
Издательство научно-популярной литературы "Страта"
Санкт-Петербург
Заневский пр., д. 65, к 5
Заневский пр., д. 65, к 5
