Глава 8. Расслоение. Продолжение (видео)
Чтобы лучше понять расслоение Хопфа f : S3 → S2, рассмотрим параллель (то есть, множество точек, находящихся на одной широте) p в S2 и ее прообраз под действием f -- множество точек сферы S3, переходящих под действием f лежит в точки p. Так как прообраз каждой точки S2 есть окружность расслоения Хопфа, прообраз окружности p разбит на окружности, параметризованные точками p. Поэтому это -- поверхность в S3, которую в фильме мы показываем, как обычно, при помощи стереографической проекции на трехмерное пространство.
Когда параллель p очень близка к полюсу S2, и, соответственно, является очень маленькой окружностью, прообраз p это маленькая "трубка", лежащая в окрестности слоя, соответствующего полюсу. Когда параллель p постепенно расширяется до экватора, а затем сжимается, подходя к противоположному полюсу, -- "трубка" сначала увеличивается, а потом опять уменьшается, становясь опять очень маленькой.
Эти трубки лежат в S3 -- но мы видим только их стереографические поверхности на наше пространство; поэтому маленькие трубки не кажутся нам маленькими, если они проходят в области северного полюса сферы S3.
Эти трубки лежат в S3 -- но мы видим только их стереографические поверхности на наше пространство; поэтому маленькие трубки не кажутся нам маленькими, если они проходят в области северного полюса сферы S3.
Строго говоря, тор это поверхность вращения окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и не пересекающей её. Точка на торе параметризуется двумя угловыми координатами: одна описывает положение точки на вращаемой окружности, а другая угол, на который окружность следует повернуть.
Можно заметить аналогию с широтой и долготой. Обитатели тора (а не сферы, каковой является Земля) тоже могли бы изобрести меридианы, параллели, широту и долготу.
Можно заметить аналогию с широтой и долготой. Обитатели тора (а не сферы, каковой является Земля) тоже могли бы изобрести меридианы, параллели, широту и долготу.
На самом деле, топологи обычно называют тором поверхность, гомеоморфную тору вращения, как, например, кофейная чашка. Когда они хотят сказать о торе, полученном вращением окружности, они называют его тором вращения.
На торе вращения хорошо видны два семейства окружностей: меридианы (синие линии) и параллели (красные). Когда мы имели дело со сферой, можно было легко сказать, что меридианы отличаются от параллелей тем, что каждый из них проходит через оба полюса, однако на торе никаких полюсов, да и вообще точек пересечения меридианов нет. Поэтому существует соглашение называть синие линии меридианами, потому что плоскости, в которых они лежат, содержат ось вращения, а красные линии -- параллелями, так как плоскости, их содержащие, перпендикулярны оси вращения.
Маленькое геометрическое чудо состоит в том, что на торе вращения можно провести много других окружностей... В этом параграфе объясняется, как это можно сделать.
На торе вращения хорошо видны два семейства окружностей: меридианы (синие линии) и параллели (красные). Когда мы имели дело со сферой, можно было легко сказать, что меридианы отличаются от параллелей тем, что каждый из них проходит через оба полюса, однако на торе никаких полюсов, да и вообще точек пересечения меридианов нет. Поэтому существует соглашение называть синие линии меридианами, потому что плоскости, в которых они лежат, содержат ось вращения, а красные линии -- параллелями, так как плоскости, их содержащие, перпендикулярны оси вращения.
Маленькое геометрическое чудо состоит в том, что на торе вращения можно провести много других окружностей... В этом параграфе объясняется, как это можно сделать.
Напомним, как задаётся проекция Хопфа: в комплексных координатах, она переводит точку сферы S3 с координатами (z1,z2) в точку a=z2/z1 на сфере S2. Зафиксировать параллель, на которой лежит точка, соответствующая комплексному числу a, это тоже самое, что зафиксировать его модуль. Значит, прообраз параллели при отображении Хопфа будет задаваться уравнением
|z2/z1| = const. Например, мы можем выбрать эту константу равной 1, и получится, что z1 и z2 имеют одинаковые модули. Если не забывать, что
|z1|2 + |z2|2 = 1, получаем, что модули z1 и z2 равны √2/2. Таким образом, получаем, что прообраз параллели состоит из всех точек (z1,z2), где z1 и z2 произвольно выбираются на окружности радиуса √2/2, стало быть, этот прообраз может быть параметризован двумя углами (аргументами z1 и z2) и является тором. Если зафиксировать z1, получится окружность в S3, если зафиксировать z2, то получится другая, -- но для вложенного в четырехмерное пространство тора уже нельзя определить, что есть параллель и что есть меридиан.
Несложно проверить, что когда мы спроецируем этот тор на трехмерное пространство из северного полюса (с координатами (0,1)) получится не просто тело, гомеоморфное тору, но и, действительно, тор вращения. А что будет его осью вращения? Довольно просто понять, что ею будет проекция проходящей через северный полюс окружности Хопфа; эта проекция -- конечно же -- прямая. Так что теперь мы можем представлять тор вращения как прообраз параллели под действием отбражения Хопфа.
Вот следствие такой интерпретации: для каждой точки выбранной параллели, соответствующая окружность Хопфа, очевидно, лежит на торе вращения. Мы нашли на торе вращения новые окружности...
Предположим, что тор вращения получен проектированием комплексной окружности
|z1| = √2/2; |z2| = √2/2 из Северного полюса (0,1).
Рассмотрим отображение, переводящее точку (z1,z2) в (ω z1,z2), где ω -- комплексное число, по модулю равное единице. Так как модули z1 и z2 не меняются, это отображение сохраняет сферу S3. Точки вида (0,z2) остаются неподвижными; поэтому это отображение -- вращение четырехмерного пространства вокруг комплексной прямой z1=0. Так как она проходит через северный полюс (0,1), её стереографическая проекция это не окружность, а прямая. Таким образом, после стереографической проекции эти отображения (зависящие от параметра ω) оказываются ничем иным, как поворотами нашего пространства вокруг некоторой оси. Но эти преобразования сохраняют также и наш тор вращения, поскольку прямая z1=0 переходит в его центральную ось!
|z2/z1| = const. Например, мы можем выбрать эту константу равной 1, и получится, что z1 и z2 имеют одинаковые модули. Если не забывать, что
|z1|2 + |z2|2 = 1, получаем, что модули z1 и z2 равны √2/2. Таким образом, получаем, что прообраз параллели состоит из всех точек (z1,z2), где z1 и z2 произвольно выбираются на окружности радиуса √2/2, стало быть, этот прообраз может быть параметризован двумя углами (аргументами z1 и z2) и является тором. Если зафиксировать z1, получится окружность в S3, если зафиксировать z2, то получится другая, -- но для вложенного в четырехмерное пространство тора уже нельзя определить, что есть параллель и что есть меридиан.
Несложно проверить, что когда мы спроецируем этот тор на трехмерное пространство из северного полюса (с координатами (0,1)) получится не просто тело, гомеоморфное тору, но и, действительно, тор вращения. А что будет его осью вращения? Довольно просто понять, что ею будет проекция проходящей через северный полюс окружности Хопфа; эта проекция -- конечно же -- прямая. Так что теперь мы можем представлять тор вращения как прообраз параллели под действием отбражения Хопфа.
Вот следствие такой интерпретации: для каждой точки выбранной параллели, соответствующая окружность Хопфа, очевидно, лежит на торе вращения. Мы нашли на торе вращения новые окружности...
Предположим, что тор вращения получен проектированием комплексной окружности
|z1| = √2/2; |z2| = √2/2 из Северного полюса (0,1).
Рассмотрим отображение, переводящее точку (z1,z2) в (ω z1,z2), где ω -- комплексное число, по модулю равное единице. Так как модули z1 и z2 не меняются, это отображение сохраняет сферу S3. Точки вида (0,z2) остаются неподвижными; поэтому это отображение -- вращение четырехмерного пространства вокруг комплексной прямой z1=0. Так как она проходит через северный полюс (0,1), её стереографическая проекция это не окружность, а прямая. Таким образом, после стереографической проекции эти отображения (зависящие от параметра ω) оказываются ничем иным, как поворотами нашего пространства вокруг некоторой оси. Но эти преобразования сохраняют также и наш тор вращения, поскольку прямая z1=0 переходит в его центральную ось!
Поэтому, параллель, проходящая через (z1,z2) -- это множество точек вида (ωz1, z2), где ω пробегает равные по модулю единице комплексные числа. Аналогично, меридиан, проходящий через (z1, z2) -- множество точек вида (z1, ω z2).
Окружность Хопфа, проходящая через точку (z1,z2) -- это множество точек вида (ω z1, ω z2), (заметьте, что одновременное умножение z1 и z2 на ω не меняет их отношение z2/z1, поэтому все эти точки под действием f переходят в одну и ту же точку и, следовательно, принадлежат одному слою). Мы не будем останавливаться на полпути: через каждую точку мы также можем провести "симметричную" окружность, состоящую из точек вида (ω z1, ω-1 z2).
Мы доказали, что через каждую точку на торе вращения можно провести четыре окружности: меридиан, параллель, окружность Хопфа и симметричную ей.
Окружность Хопфа, проходящая через точку (z1,z2) -- это множество точек вида (ω z1, ω z2), (заметьте, что одновременное умножение z1 и z2 на ω не меняет их отношение z2/z1, поэтому все эти точки под действием f переходят в одну и ту же точку и, следовательно, принадлежат одному слою). Мы не будем останавливаться на полпути: через каждую точку мы также можем провести "симметричную" окружность, состоящую из точек вида (ω z1, ω-1 z2).
Мы доказали, что через каждую точку на торе вращения можно провести четыре окружности: меридиан, параллель, окружность Хопфа и симметричную ей.
Этот факт известен давно, и эти окружности обычно называются в честь Вилларсо —
математика девятнадцатого века.
Но, как читателю уже известно, математические теоремы очень редко принадлежат тем, чьим именем называются: процесс создания и ассимиляции очень долог и сложен.
Так, лестница датируемого XVI веком страсбургского собора показывает, что архитекторам не понадобился Вилларсо для того, чтобы высечь окружности на поверхности тора.
математика девятнадцатого века.
Но, как читателю уже известно, математические теоремы очень редко принадлежат тем, чьим именем называются: процесс создания и ассимиляции очень долог и сложен.
Так, лестница датируемого XVI веком страсбургского собора показывает, что архитекторам не понадобился Вилларсо для того, чтобы высечь окружности на поверхности тора.
Вторая часть этого параграфа описывает окружности Вилларсо другим способом, независимо от расслоения Хопфа. Тор вращения рассекается бикасательной плоскостью, и сечение оказывается состоящим из двух окружностей.
Как это доказать? Можно написать уравнение и проверить… Это возможно (см. тут), но эти выкладки малопоучительны. Зато методы алгебраической геометрии позволяет сделать это практически без вычислений, используя понятие циклических точек. Это точки, которые не просто находятся на бесконечности, но к тому же ещё и мнимые! Доказательство теоремы Вилларсо в этом духе можно прочитать в этой статье.
Как это доказать? Можно написать уравнение и проверить… Это возможно (см. тут), но эти выкладки малопоучительны. Зато методы алгебраической геометрии позволяет сделать это практически без вычислений, используя понятие циклических точек. Это точки, которые не просто находятся на бесконечности, но к тому же ещё и мнимые! Доказательство теоремы Вилларсо в этом духе можно прочитать в этой статье.
Заданную поверхность в трехмерном пространстве можно рассматривать как поверхность в S3 (добавив бесконечно удаленную точку). Так как сфера S3 вложена в четырехмерное пространство, на нее можно подействовать вращением этого пространства и затем стереографически спроецировать обратно на трехмерное пространство. Получится поверхность, напоминающая исходную, но отличная от нее.
Если начать с тора вращения, то будут получаться поверхности, называемые циклидами Дюпена; они интенсивно изучались в девятнадцатом веке.
Так как стереографическая проекция переводит не проходящие через полюс окружности в окружности, существование четырех семейств окружностей на торе влечет также существавание четырех семейст окружностей на циклидах...
Если начать с тора вращения, то будут получаться поверхности, называемые циклидами Дюпена; они интенсивно изучались в девятнадцатом веке.
Так как стереографическая проекция переводит не проходящие через полюс окружности в окружности, существование четырех семейств окружностей на торе влечет также существавание четырех семейст окружностей на циклидах...
Применяя вышеописанную процедуру к тору вращения, мы увидим, как получающиеся циклиды Дюпена постепенно -- при изменении угла поворота четырёхмерного пространства -- деформируются. В определённый момент, когда поверхность проходит через полюс проекции, циклида проходит через бесконечность -- и затем возвращается обратно, к своей исходной форме. Однако, как вы можете заметить, параллели и мередианы поменялись местами -- тор вывернулся наизнанку! Щёлкните по изображению для просмотра фильма. Геометрия окружностей в пространстве великолепна; её иногда называют аналлагматической геометрией. В ней есть, о чём рассказать, и что показать!
Хопф и гомотопия
.
В заключение, несколько кратких комментариев тому, что мотивировало Хопфа, -- о чём мы, к сожалению, не говорили в фильме.
В топологии часто рассматриваются отображения между топологическими пространствами X и Y. Мы не будем приводить тут строгого определения; можно просто рассмотреть пример, когда X и Y -- это сферы размерностей n и p, соответственно. Правда, мы рассматривали только сферы размерностей 0, 1, 2, 3, но вы догадываетесь, что ими дело не заканчивается. Разумеется, не очень интересно рассматривать совершенно произвольные отображения, и мы ограничимся отображениями непрерывными, то есть такими, для которых образ f(x) мало меняется при достаточно малом изменении x. Так, например, функция, сопоставляющая вещественном числу x число 1, если x отлично от нуля, и -1 иначе, не является непрерывной, поскольку она "подпрыгивает" в точке 0. А вот отображение, ставящее в соответствие вещественному числу x его квадрат, непрерывно, потому что, если мы немного изменим число, то его квадрат изменится тоже немного. Одна из фундаментальных задач топологии состоит в изучении непрерывных отображений между топологическими пространствами, к примеру, между сферами.
На самом деле, топология менее требовательна; она старается изучать гомотопии. Еще одно сложное слово означает совсем простую вещь! Представьте себе, что даны два отображения f0 и f1 из сферы Sn в сферу Sp. Мы говорим, что они гомотопны, если одно из них можно продеформировать в другое. Иными словами, это означает, что существует семейство отображений ft, зависящих от параметра t, меняющегося от 0 до 1, которое соединяет f0 с f1. Наконец, совсем строго, это означает, что всякой точке x сферы Sn и всякому числу t от 0 до 1 мы можем сопоставить точку ft(x), непрерывно зависящую от x и от t, так, что при t=0 получается f0, а при t=1 получаем отображение f1.
В топологии часто рассматриваются отображения между топологическими пространствами X и Y. Мы не будем приводить тут строгого определения; можно просто рассмотреть пример, когда X и Y -- это сферы размерностей n и p, соответственно. Правда, мы рассматривали только сферы размерностей 0, 1, 2, 3, но вы догадываетесь, что ими дело не заканчивается. Разумеется, не очень интересно рассматривать совершенно произвольные отображения, и мы ограничимся отображениями непрерывными, то есть такими, для которых образ f(x) мало меняется при достаточно малом изменении x. Так, например, функция, сопоставляющая вещественном числу x число 1, если x отлично от нуля, и -1 иначе, не является непрерывной, поскольку она "подпрыгивает" в точке 0. А вот отображение, ставящее в соответствие вещественному числу x его квадрат, непрерывно, потому что, если мы немного изменим число, то его квадрат изменится тоже немного. Одна из фундаментальных задач топологии состоит в изучении непрерывных отображений между топологическими пространствами, к примеру, между сферами.
На самом деле, топология менее требовательна; она старается изучать гомотопии. Еще одно сложное слово означает совсем простую вещь! Представьте себе, что даны два отображения f0 и f1 из сферы Sn в сферу Sp. Мы говорим, что они гомотопны, если одно из них можно продеформировать в другое. Иными словами, это означает, что существует семейство отображений ft, зависящих от параметра t, меняющегося от 0 до 1, которое соединяет f0 с f1. Наконец, совсем строго, это означает, что всякой точке x сферы Sn и всякому числу t от 0 до 1 мы можем сопоставить точку ft(x), непрерывно зависящую от x и от t, так, что при t=0 получается f0, а при t=1 получаем отображение f1.
Например, отображение f : S1 → S2 есть ничто иное, как замкнутая кривая на двумерной сфере. Пусть отображение f0 переводит все точки S1 в северный полюс S2: такое отображение называется постоянным. А отображение f1 пусть, к примеру, переводит S1 в экватор сферы S2.
Доказать, что f0 и f1 гомотопны -- всё равно, что показать, как экватор можно непрерывно продеформировать в северный полюс (как это показано на рисунке справа). На самом деле, оказывается, что это всегда возможно, то есть, любые два отображения из S1 в S2 гомотопны.
Говоря топологическим языком, что все кривые на сфере S2 гомотопны постоянной кривой, или, что то же самое, сфера S2 односвязна. Несложно убедиться в том, что то же самое верно и для сферы Sp любой размерности p, не меньшей 2 (посмотрите также эту страницу).
Доказать, что f0 и f1 гомотопны -- всё равно, что показать, как экватор можно непрерывно продеформировать в северный полюс (как это показано на рисунке справа). На самом деле, оказывается, что это всегда возможно, то есть, любые два отображения из S1 в S2 гомотопны.
Говоря топологическим языком, что все кривые на сфере S2 гомотопны постоянной кривой, или, что то же самое, сфера S2 односвязна. Несложно убедиться в том, что то же самое верно и для сферы Sp любой размерности p, не меньшей 2 (посмотрите также эту страницу).
Отображение из S1 в S1 это способ перевести каждую точку окружности в какую-нибудь, возможно, другую точку окружности, -- в некотором смысле, это замкнутая кривая на окружности. У такого отображения есть степень -- это просто количество полных оборотов "вокруг окружности", которые делает кривая.
Кривая, соответствующая постоянному отображению, вообще не делает ни одного оборота, и её степень равна 0. Тождественное отображение, которое каждую точку переводит в себя, разумеется, делает один оборот и его степень равна 1. Отображение, которое каждое комплексное число, равное единице по модулю, переводит в его квадрат, — удваивает аргумент. Поэтому, когда число пробегает окружность, его квадрат пробегает ее два раза, и степень получается равной двум.
Когда отображение деформируется, его степень не меняется (это совсем не очевидно! обычно это выводят, замечая, что степень отображения -- целое число, которое должно меняться непрерывно). Тем самым, существуют отображения из S1 в S1, не гомотопные постоянному. Немного сложнее показать, что любые два отображения с одинаковой степенью гомотопны.
Кривая, соответствующая постоянному отображению, вообще не делает ни одного оборота, и её степень равна 0. Тождественное отображение, которое каждую точку переводит в себя, разумеется, делает один оборот и его степень равна 1. Отображение, которое каждое комплексное число, равное единице по модулю, переводит в его квадрат, — удваивает аргумент. Поэтому, когда число пробегает окружность, его квадрат пробегает ее два раза, и степень получается равной двум.
Когда отображение деформируется, его степень не меняется (это совсем не очевидно! обычно это выводят, замечая, что степень отображения -- целое число, которое должно меняться непрерывно). Тем самым, существуют отображения из S1 в S1, не гомотопные постоянному. Немного сложнее показать, что любые два отображения с одинаковой степенью гомотопны.
А как насчет отображений из S2 в S2? Этот случай аналогичен случаю S1 в S1; можно опять определить степень отображения, только надо рассматривать не количество оборотов, а количество раз, которое образ f накрывает сферу, которое не так просто определить.
Простейший пример -- это тождественное отображение, переводящее каждую точку в себя же; его степень равна единице. Можно догадаться, что тождественное отображения на сфере невозможно непрерывно деформировать в постоянное, не разрывая сферу. Но это еще надо доказать!
Сюрприз обнаружился в 1931 году, когда Хопф показал, что некоторые отображения из S3 в S2 не гомотопны постоянному. Конечно, таким примером оказалось расслоение Хопфа, которое мы уже видели! Понемногу оно стало чрезвычайно важным объектом не только в математике, но и в физике.
Простейший пример -- это тождественное отображение, переводящее каждую точку в себя же; его степень равна единице. Можно догадаться, что тождественное отображения на сфере невозможно непрерывно деформировать в постоянное, не разрывая сферу. Но это еще надо доказать!
Сюрприз обнаружился в 1931 году, когда Хопф показал, что некоторые отображения из S3 в S2 не гомотопны постоянному. Конечно, таким примером оказалось расслоение Хопфа, которое мы уже видели! Понемногу оно стало чрезвычайно важным объектом не только в математике, но и в физике.
Невозможность непрерывной деформации отображения Хопфа в постоянное, по сути, следует из того, что любые два слоя (а это окружности) зацеплены между собой, но аккуратное доказательство этого потребует длинных объяснений.
Что известно про отображения из Sn в Sp для произвольных n и p? Известно много что, но далеко не все; классы гомотопии отображений между сферами в большой степени остаются загадкой. Это расслоение Хопфа — только один из вкладов Хейнца Хопфа, глубоко повлиявшего на математику двадцатого века.
Что известно про отображения из Sn в Sp для произвольных n и p? Известно много что, но далеко не все; классы гомотопии отображений между сферами в большой степени остаются загадкой. Это расслоение Хопфа — только один из вкладов Хейнца Хопфа, глубоко повлиявшего на математику двадцатого века.
Цикл книг «Фракталы и Хаос»
Мы в соцсетях:
©
Оставить свой отзыв
Оставить свой отзыв
Designed by miradox.com
ООО "Страта" , 2020
Издательство научно-популярной литературы "Страта"
Санкт-Петербург
Заневский пр., д. 65, к 5
Заневский пр., д. 65, к 5
