Глава 9. Доказательство (видео)
Математик Бернхард Риман объясняет важность доказательств в математике, и доказывает теорему о стереографической проекции.
Эта глава немного особенная... Мы могли бы поместить ее прямо после первой главы, но её можно смотреть и независимо от остальных. Бонус, в некотором роде! Её цель — объяснить, что в основе математики лежат доказательства.
Математики благодарны Евклиду за то, что он ясно установил правила математической игры.
Эта глава немного особенная... Мы могли бы поместить ее прямо после первой главы, но её можно смотреть и независимо от остальных. Бонус, в некотором роде! Её цель — объяснить, что в основе математики лежат доказательства.
Математики благодарны Евклиду за то, что он ясно установил правила математической игры.
Хотя ему и не принадлежит никакого основного результата в математике, его гениальность выразилась в том, что он предложил метод, как с математикой работать, собрав "Начала" — один из самых больших математических текстов всех времен.
Эта книга оставалась неоспоримым материалом в течение почти 2000 лет! Ее оригинальность — в ее структуре. Все утверждения, теоремы, предложения и т.д. в книге выводятся только из ранее доказанных утверждений. Однако, Евклид очень хорошо понимал , что нельзя доказать всё, исходя из более ранних результатов: всё должно с чего то начинаться (если только не писать книгу бесконечной длины!). Сначала читатели должны принять некоторое число фактов без доказательства — эти факты называют аксиомами или постулатами. Таким образом, идея Евклида состоит в том, что начинать надо со списка аксиом, как здание начинается с фундамента, и возводить конструкцию рассуждения, где каждый кирпич будет опираться только на более нижние.
Эта книга оставалась неоспоримым материалом в течение почти 2000 лет! Ее оригинальность — в ее структуре. Все утверждения, теоремы, предложения и т.д. в книге выводятся только из ранее доказанных утверждений. Однако, Евклид очень хорошо понимал , что нельзя доказать всё, исходя из более ранних результатов: всё должно с чего то начинаться (если только не писать книгу бесконечной длины!). Сначала читатели должны принять некоторое число фактов без доказательства — эти факты называют аксиомами или постулатами. Таким образом, идея Евклида состоит в том, что начинать надо со списка аксиом, как здание начинается с фундамента, и возводить конструкцию рассуждения, где каждый кирпич будет опираться только на более нижние.
Все утверждения, кроме аксиом, должны быть доказаны. Это означает, что нужно объяснить, почему они истинны, используя правила логики, уже доказанные утверждения и, конечно, аксиомы, которые были зафиксированы в начале. Это — аксиоматический метод.
Ясно, что далеко не любой набор утверждений может быть выбран в качестве аксиом. Например, список не может содержать две противоречащих друг другу аксиомы! Выбор аксиом нелёгок. Достаточно ли того, чтобы в системе аксиом не было противоречия?
Очевидно, что геометрия, которая преподается в школе, должна содержать теоремы, которые являются "верными" в реальности, и поэтому аксиомы должны быть выбраны так, чтобы отразить нашу физическую действительность. С другой стороны, математики вполне могут быть довольными, работая с набором непротиворечивых аксиом, которые не отражают реальный мир вообще.
Классический пример — неевклидова геометрия, которая, как следует из её названия, начинается с отличных от евклидовых аксиом, но которая столь же связна, как и геометрия Евклида, — пусть её теоремы и неверны в физической действительности, которую мы знаем. Об аксиоматическом методе можно сказать намного больше, но мы перейдём к разбору конкретной теоремы.
Ясно, что далеко не любой набор утверждений может быть выбран в качестве аксиом. Например, список не может содержать две противоречащих друг другу аксиомы! Выбор аксиом нелёгок. Достаточно ли того, чтобы в системе аксиом не было противоречия?
Очевидно, что геометрия, которая преподается в школе, должна содержать теоремы, которые являются "верными" в реальности, и поэтому аксиомы должны быть выбраны так, чтобы отразить нашу физическую действительность. С другой стороны, математики вполне могут быть довольными, работая с набором непротиворечивых аксиом, которые не отражают реальный мир вообще.
Классический пример — неевклидова геометрия, которая, как следует из её названия, начинается с отличных от евклидовых аксиом, но которая столь же связна, как и геометрия Евклида, — пусть её теоремы и неверны в физической действительности, которую мы знаем. Об аксиоматическом методе можно сказать намного больше, но мы перейдём к разбору конкретной теоремы.
Теорема
.
Стереографическая проекция переводит окружность, нарисованную на сфере и не проходящую через северный полюс, в окружность на плоскости, касающейся сферы в южном полюсе.
Это древняя теорема. Знал ли ее Гиппарх? Доказывал ли он ее? Трудно сказать.
Идея рассматривать сферу S2 как комплексную прямую, к которой была добавлена точка на бесконечности, часто приписывается Бернхарду Риману (даже при том, что идея появилась еще до него ...), и о такой интерпретации сферы говорят как о сфере Римана. Этот математик — без сомнения один из самых плодовитых во все времена, и для нас он идеален, как рассказчик доказательства этой теоремы о его сфере!
Работы Римана гениальны: благодаря нему, мы по-другому думаем о многих математических понятиях. Только один пример: он показал нам, насколько может быть полезно изучать алгебраическую кривую на вещественной плоскости, рассматривая её комплексную версию на комплексной плоскости, — комплексную кривую, или другими словами, поверхность... Это — теория римановых поверхностей. Нет нужды уточнять, что это — одна из красивейших теорий!
Идея рассматривать сферу S2 как комплексную прямую, к которой была добавлена точка на бесконечности, часто приписывается Бернхарду Риману (даже при том, что идея появилась еще до него ...), и о такой интерпретации сферы говорят как о сфере Римана. Этот математик — без сомнения один из самых плодовитых во все времена, и для нас он идеален, как рассказчик доказательства этой теоремы о его сфере!
Работы Римана гениальны: благодаря нему, мы по-другому думаем о многих математических понятиях. Только один пример: он показал нам, насколько может быть полезно изучать алгебраическую кривую на вещественной плоскости, рассматривая её комплексную версию на комплексной плоскости, — комплексную кривую, или другими словами, поверхность... Это — теория римановых поверхностей. Нет нужды уточнять, что это — одна из красивейших теорий!
Итак, мы должны доказать, что проекция окружности, которая не проходит через северный полюс, есть окружность. Если бы мы хотели провести полное доказательство, мы должны были бы начать с объяснения аксиом и постепенно, одно за другим, проводить логический вывод. Это было бы трудно, и прежде всего очень долго! Трудно ещё и потому, что выбор аксиом это довольно тонкий процесс, и надо сказать, что выбор Евклида не был идеален (но это было 2300 лет назад).
Безупречный (до каких пор?) выбор аксиом был предложен Гильбертом в двадцатом столетии, но он довольно неудобен, особенно в средней школе. Поэтому в фильме приходится отбросить идею полного аксиоматического доказательства, и действовать, лишь "как будто" мы доказываем теорему полностью, даже если это подразумевает, что наше доказательство будет открыто для критики. Мы должны также предположить, что зритель уже знает определенные теоремы, к примеру, теорему Пифагора, или, скорее, что он уже разобрал их доказательства.
Вместо того, чтобы комментировать доказательство теоремы, представленное нам Риманом в фильме, — оно-то, мы надеемся, достаточно ясно — мы предпочтём прокомментировать его недостатки! Наша цель при этом состоит вовсе не в том, чтобы показать, что доказательство неверно!
Вместо того, чтобы комментировать доказательство теоремы, представленное нам Риманом в фильме, — оно-то, мы надеемся, достаточно ясно — мы предпочтём прокомментировать его недостатки! Наша цель при этом состоит вовсе не в том, чтобы показать, что доказательство неверно!
Мы хотим объяснить, что часто доказательство использует неявные шаги, и что редко увидишь доказательства с полной логической цепочкой вывода. Доказательство теоремы, будь оно в ежедневной практике математика, или на уроке средней школы, это, в основном, убеждение собеседника в верности сделанного утверждения.
Иногда при этом (зачастую неявно) используются аргументы, оставляемые без доказательства — потому что ясно, что слушатель, читатель или зритель сможет их обосновать самостоятельно.
В конце концов, математики тоже люди(!), и общение людей не может (пока) полностью сводиться к аксиомам! Можно записать математическое доказательство до самых мелких деталей, но трудно будет найти людей, которые захотят прочитать его. Искусство математика или преподавателя в том, чтобы написать или рассказать доказательство таким способом, чтобы оно принимало во внимание опыт читателей/слушателей и могло ответить на все их вопросы и возражения.
Каковы же "недостатки" и "неявные участки" в представленном доказательстве? Вот некоторые из них:
Заниматься математикой — это, прежде всего, доказывать то, что утверждается!
Иногда при этом (зачастую неявно) используются аргументы, оставляемые без доказательства — потому что ясно, что слушатель, читатель или зритель сможет их обосновать самостоятельно.
В конце концов, математики тоже люди(!), и общение людей не может (пока) полностью сводиться к аксиомам! Можно записать математическое доказательство до самых мелких деталей, но трудно будет найти людей, которые захотят прочитать его. Искусство математика или преподавателя в том, чтобы написать или рассказать доказательство таким способом, чтобы оно принимало во внимание опыт читателей/слушателей и могло ответить на все их вопросы и возражения.
Каковы же "недостатки" и "неявные участки" в представленном доказательстве? Вот некоторые из них:
- Действительно ли очевидно, что всегда можно опустить перпендикуляр из точки на плоскость? Было ли это доказано?
- Действительно ли очевидно, что прямая, проведенная из северного полюса сферы и точку плоскости, касающейся сферы в южном полюсе, всегда будет пересекать сферу в ещё одной точке? Почему?
- Из доказательства видно, что проекция окружности содержится в окружности на плоскости; но показано ли, что проекцией является действительно вся окружность на плоскости?
Заниматься математикой — это, прежде всего, доказывать то, что утверждается!
Цикл книг «Фракталы и Хаос»
Мы в соцсетях:
©
Оставить свой отзыв
Оставить свой отзыв
Designed by miradox.com
ООО "Страта" , 2020
Издательство научно-популярной литературы "Страта"
Санкт-Петербург
Заневский пр., д. 65, к 5
Заневский пр., д. 65, к 5
